高等数学-导数与微分(微分中值定理）

【微分中值定理】
（1）拉格朗日中值定理：如果函数 \(y=f(x)\) 满足在闭区间 \([a,b]\) 上连续，在开区间 \((a,b)\) 内可导，则在开区间 \((a,b)\) 内至少存在一点 \(\xi\)，使得 \(f(b)-f(a) = f'(\xi)(b-a)\)。
（2）罗尔定理：如果函数 \(y=f(x)\) 满足在闭区间 \([a,b]\) 上连续，在开区间 \((a,b)\) 内可导，且 \(f(a)=f(b)\)，则在开区间 \((a,b)\) 内至少存在一点 \(\xi\)，使得 \(f'(\xi)=0\)。

【导数应用：单调性与极值】
（1）单调性判定：如果 \(f(x)\) 在 \((a,b)\) 内满足 \(f'(x) > 0\)，则在该区间单调递增；若满足 \(f'(x) < 0\)，则单调递减。
（2）极值必要条件：设函数 \(y=f(x)\) 在点 \(x=x_0\) 处可导，且 \(x=x_0\) 为极值点，则 \(f'(x_0) = 0\)。
（3）极值第一充分条件：设 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处连续。若在 \((x_0-\delta, x_0)\) 内满足 \(f'(x) > 0\)，在 \((x_0, x_0+\delta)\) 内满足 \(f'(x) < 0\)，则 \(f(x_0)\) 是极大值；若在 \((x_0-\delta, x_0)\) 内满足 \(f'(x) < 0\)，在 \((x_0, x_0+\delta)\) 内满足 \(f'(x) > 0\)，则 \(f(x_0)\) 是极小值。
（4）极值第二充分条件：若函数在点 \(x_0\) 处满足 \(f'(x_0)=0\) 且 \(f''(x_0) > 0\)，则 \(f(x_0)\) 为极小值；若满足 \(f'(x_0)=0\) 且 \(f''(x_0) < 0\)，则 \(f(x_0)\) 为极大值。

【导数应用：曲线形态与渐近线】
（1）凹凸性判定：如果在 \((a,b)\) 内 \(f''(x) > 0\)，则曲线 \(y=f(x)\) 在 \((a,b)\) 内是凹的；如果在 \((a,b)\) 内 \(f''(x) < 0\)，则曲线内是凸的。
（2）拐点必要条件：设函数 \(y=f(x)\) 在点 \(x=x_0\) 处二阶可导，且 \((x_0, f(x_0))\) 是其拐点，则 \(f''(x_0) = 0\)。
（3）水平渐近线：如果 \(\lim_{x \to \infty} f(x) = b\) （或单侧趋于无穷时成立），则直线 \(y=b\) 为曲线的水平渐近线。
（4）垂直渐近线：如果 \(\lim_{x \to x_0} f(x) = \infty\) （或单侧趋于某点时无穷），则直线 \(x=x_0\) 为曲线的垂直渐近线。（如 \(f(x) = \frac{1}{x}\) 在 \(x=0\) 处）

【补充公式格式规范】
（1）变限积分求导： \(\frac{d}{dx} \int_{u(x)}^{v(x)} f(t) \, dt = f(v(x)) v'(x) - f(u(x)) u'(x)\)